Come descrivere la complessità

leggi di potenza e frattali

Econometristi ed econofisici (i fisici che si occupano di economia) dibattono da tempo su quanto e fin dove sia lecito utilizzare la distribuzione di probabilità di Gauss (la cosiddetta “normale”) per descrivere fenomeni fisici, biologici, ma anche sociali ed economici.

Gli econometristi, infatti, tendono a usare distribuzioni normali o lognormali (distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria il cui logaritmo segue una distribuzione normale) anche in situazioni in cui tali distribuzioni non modellano bene i fenomeni descritti. La distribuzione dei rendimenti finanziari, ad esempio, è tipicamente leptocurtica, ossia più “appuntita” di una distribuzione normale.

La ragione principale di questo “abuso” delle distribuzioni normali risiede nel fatto che esse hanno caratteristiche altamente “auspicabili” in un modello statistico, poiché le code simmetriche che vanno a morire esponenzialmente significano intervalli di confidenza chiaramente definiti (varianza limitata) e un valore medio stabile. In effetti, fenomeni lineari, con variabili indipendenti e in equilibrio, sono ben descritti da tali distribuzioni. Ma siamo certi che la realtà che ci circonda sia ben descritta da eventi lineari o da situazioni di equilibrio?

Ilya Prigogine, chimico e fisico russo, Nobel per la chimica nel 1977, fu tra i primi a studiare i sistemi dinamici instabili o lontani dall’equilibrio, divenendo uno dei precursori della teoria della complessità. Lo stato di equilibrio di un pendolo fermo si dice stabile perché ogni perturbazione del suo stato iniziale (ad esempio una spinta per metterlo in moto) si concluderà con un ritorno alla posizione assunta inizialmente (quella a energia potenziale minima); l’equilibrio di una matita tenuta in piedi sulla sua punta, invece, si dice instabile, perché ogni minimo tocco la fa cadere da un lato o dall’altro (la posizione iniziale è quella di massima energia potenziale). I sistemi dinamici stabili, quindi, sono quelli in cui piccole perturbazioni producono piccoli effetti (in questo sono intrinsecamente fenomeni lineari); i sistemi instabili sono, viceversa, quelli in cui piccole perturbazioni producono effetti dirompenti (non linearità della risposta). Sistemi caotici sono considerati, quindi, quelli altamente sensibili alle condizioni iniziali. È quello che classicamente viene definito “effetto farfalla” dai meteorologi: il battito d’ali di una farfalla in Amazzonia può influire sul tempo che farà negli Stati Uniti. Da notare che in genere si parla di “caos deterministico”, in quanto i sistemi caotici continuano a essere descritti da leggi newtoniane deterministiche (date le condizioni iniziali si può ricostruire la traiettoria a ogni istante); tuttavia il comportamento di tali sistemi nel tempo appare stocastico e altamente influenzato dalla variabilità delle condizioni iniziali.

Molti fenomeni fisici, biologici, ma anche sociali ed economici studiati dai cosiddetti “autori della complessità” sono tutt’altro che lineari o descritti da condizioni di equilibrio. Nell’ambito delle teorie organizzative, ad esempio, il concetto di linearità ha spesso dimostrato la propria fallacia nella descrizione dei processi reali. I flussi delle decisioni aziendali e l’andamento dell’ammontare delle vendite, ad esempio, sono tipici processi non lineari, che in letteratura sono stati meglio descritti da distribuzioni cosiddette di “frequenza di Pareto” o a legge di potenza. Tali distribuzioni, anche dette “rank distribution”, sono caratterizzate da lunghe code, cioè la funzione di probabilità tende a zero lentamente all’aumentare del valore della variabile. Esse derivano il loro nome dall’ingegnere ed economista Vilfredo Pareto, che per primo le utilizzò per descrivere quanto fosse esiguo, rispetto al totale della popolazione, il numero di soggetti che percepivano redditi molto al di sopra della media, indipendentemente dal paese o dall’epoca considerata. Infatti, si suole affermare che circa l’80% del reddito è in mano a circa il 20% della popolazione, secondo la celebre regola dell’80-20 di Pareto (l’80% delle cause di un fenomeno è dato dal 20% dei fattori che lo contraddistinguono). In realtà il principio dell’80-20 è del tutto empirico, visto che, nel descrivere fenomeni reali, dette proporzioni sono solo indicative e stanno a evidenziare semplicemente il fatto che solo pochi soggetti/fattori contribuiscono alla stragrande maggioranza dei risultati di un fenomeno: poche guerre fanno tantissime vittime, pochi portali web hanno moltissimi contatti, pochi libri vendono un gran numero di copie (la maggior parte, ahimè, sono destinati a biblioteche specializzate o dimenticati nello scaffale di una libreria).

Nel tempo, le distribuzioni a legge di potenza sono state anche dette “di Zipf”, dal linguista americano George Kingsley Zipf che, negli anni ’50, le utilizzò nel suo lavoro Human behaviour and the principle of least-effort per rappresentare la frequenza d’uso delle parole nei testi: in ogni lingua, l’insieme delle parole utilizzate più di frequente è molto piccolo e comprende, in particolare, vocaboli più brevi e dotati di molteplicità di significato.

In letteratura sono stati descritti molti fenomeni attraverso delle rank distribution: la distribuzione dell’intensità dei terremoti, il numero di citazioni di lavori scientifici, le dimensioni delle città del mondo, i tassi di crescita delle imprese (in termini di ammontare delle vendite), la lunghezza dei fiumi, il numero di accessi ai siti web, la ricchezza tra gli individui, etc. In altre parole, leggi di potenza sono utilizzate per descrivere fenomeni di natura fisica, ma anche sociale ed economica.

La caratteristica principale di questo tipo di distribuzioni è l’assenza di una scala caratteristica dei fenomeni, i quali risultano invarianti per cambiamenti di scala. Così, ad esempio, dire che la distribuzione del reddito varia secondo una legge di potenza significa dire che se ogni quattro individui con reddito annuo pari a diecimila euro ne esiste uno con reddito pari a ventimila, allora per ogni quattro con reddito pari a un milione di euro, ci sarà una persona che guadagna due milioni di euro.

La forma più comune di una funzione a legge di potenza è:

f(x) = x -α

Se si moltiplica la variabile x per una costante c, la funzione stessa viene moltiplicata per una costante:

f(cx) = (cx)α = cα f(x) α f(x)

a dimostrazione dell’invarianza di scala delle leggi di potenza.

In genere, si suole rappresentare le leggi di potenza su un grafico doppiamente logaritmico, nel quale la funzione assume la forma di una retta con pendenza negativa pari all’esponente α.

Le distribuzioni a legge di potenza, dunque, descrivendo fenomeni non lineari, non godono delle proprietà che rendono le distribuzioni gaussiane estremamente comode da un punto di vista statistico. A differenza delle distribuzioni normali, infatti, il loro valore medio può non essere stabile e la loro varianza può divenire infinita. Ciò è stato spiegato in letteratura con il fatto che le distribuzioni a legge di potenza descrivono fenomeni complessi, dove molti elementi o fattori sono in connessione o interdipendenti, laddove le distribuzioni gaussiane sono generate, invece, da variabili tutte indipendenti tra loro. Inoltre, la proprietà di invarianza di scala richiede agli studiosi un approccio metodologico del tutto nuovo rispetto a quello utilizzato abitualmente nello studio di fenomeni complessi. Tradizionalmente infatti, i ricercatori, specie in campo fisico, cercano di scomporre ogni sistema nelle sue componenti principali, per studiarne le caratteristiche e per poi ricostruire le proprietà della struttura nel suo complesso a partire dalla conoscenza di quelle dei suoi elementi di base (ad esempio, per studiare le proprietà della materia si studiano gli atomi e le molecole che la compongono). Tutto ciò, tuttavia, implica che ci sia una corrispondenza lineare tra il comportamento del tutto e quello delle sue parti, cioè che sia possibile ridurre la complessità del fenomeno riducendo la scala di osservazione. Questo, nella realtà, non è sempre possibile: fenomeni non lineari, descritti da leggi di potenza, infatti, sono il tipico esempio di come, al variare della scala di osservazione, la complessità del sistema rimanga invariata, a causa della caratteristica di invarianza di scala, di cui abbiamo parlato precedentemente.

In natura, del resto, esistono molte manifestazioni di questa proprietà. Nel prossimo numero de “Il Punto” ne parleremo in maniera più estensiva e vedremo come le caratteristiche delle leggi potenza diventino più intuitive nell’ambito della geometria frattale, la cui nascita si deve a Benoit Mandelbrot, matematico polacco straordinariamente eclettico e visionario (nel senso più positivo del termine).