Corona virus e crescita esponenziale ovvero: perché dobbiamo essere tutti responsabili

Stiamo assistendo in questi giorni, con sempre maggiore preoccupazione, alla diffusione esponenziale del contagio da Corona virus. Le conseguenze di comportamenti esponenziali sono quasi sempre sorprendenti: all’inizio, infatti, la crescita esponenziale è molto lenta (cfr. Fig.1), e il relativo fenomeno può quindi passare inosservato; poi, improvvisamente, la curva si impenna e, quando il fenomeno diventa evidente, può essere troppo tardi per porvi rimedio.

Fig. 1 – La legge esponenziale (verde) confrontata con una lineare (rossa) e una cubica (blu).

 

Albert A. Bartlett (1923-2013), professore di fisica nell’Università del Colorado a Boulder, ha studiato a lungo fenomeni come la crescita della popolazione e dei consumi di energia sottolineando come tassi di crescita che appaiono non preoccupanti possano in realtà nascondere serie minacce per il futuro del genere umano e ha sostenuto che «…il più grande limite della razza umana è la nostra incapacità di comprendere la funzione esponenziale». Bartlett ha svolto una grande opera di divulgazione. La sua famosa presentazione “Arithmetic, Population and Energy”, ancora oggi reperibile sul web, è stata tenuta da lui e dai suoi collaboratori 1472 volte. In effetti l’esponenziale sorprende sempre. Ad esempio se ogni nostro passo è lungo 1 metro, 30 passi ci fanno compiere 30 metri. Trenta passi esponenziali, raddoppiando cioè la loro lunghezza ad ogni falcata, ci farebbero compiere ben 26 volte il giro della Terra! Oppure, se riuscissimo a piegare un foglio di carta a metà per 103 volte raggiungeremmo uno spessore di quasi 100 miliardi di anni luce, oltre il diametro dell’Universo conosciuto.

Questa proprietà dell’esponenziale è anche alla base della famosa leggenda sull’invenzione degli scacchi. Intorno all’anno Mille, un annoiato principe indiano annunciò a tutti che avrebbe soddisfatto qualunque desiderio di colui che fosse riuscito a farlo divertire. Nessuno riuscì nell’impresa finché non si presentò a corte un mercante che insegnò al principe un nuovo gioco di sua invenzione. Il principe si appassionò velocemente e, constatando di non essere più annoiato, chiese al mercante quale ricompensa desiderasse. Questi, con aria dimessa, chiese un chicco di grano per la prima casella della scacchiera, due chicchi per la seconda, quattro chicchi per la terza, e via a raddoppiare fino all’ultima casella. Il principe, stupito dall’apparente esiguità della richiesta, diede ordine affinché essa venisse immediatamente esaudita. Ma ben presto i suoi dignitari scoprirono che tale quantità di riso non si poteva ottenere neanche coltivando l’intera superficie terrestre. Non potendo esaudire la richiesta, e non potendo neppure sottrarsi alla parola data, il principe diede ordine di giustiziare immediatamente il geniale ma sfortunato mercante.

In effetti il numero di chicchi risultante è di 18.446.744.073.709.551.615, più di quanti ne siano stati prodotti nei secoli fino ai nostri giorni. Questa proprietà era notissima durante il Medioevo con il nome di “duplicatio scacherii”, tanto che vi appare un accenno anche nella Divina Commedia (Para- diso, XXVIII, 91-93), dove viene adoperata dal sommo poeta per dare un’idea del numero di angeli presenti nei cieli, talmente tanti che il loro numero supera il raddoppiare di casella in casella nella scacchiera: «L’incendio suo seguiva ogne scintilla / ed eran tante, che ‘l numero loro / più che ‘l doppiar de li scacchi s’inmilla».

Nel caso del Corona virus ci siamo resi conto forse tardi che la dinamica stava accelerando: purtroppo, quando inizia questa accelerazione basta poco perché si perda la possibilità di controllo. Il tempo di raddoppio T di una grandezza che cresce a un tasso x può essere calcolato approssimativamente come T=70/x. Nel caso specifico il tasso di crescita dei contagi si è attestato intorno al 20%: ciò significa un raddoppio dei casi ogni 3,5 giorni circa. La curva di fig. 2 ripresa dal sito dedicato, meritoriamente reso disponibile da “Il Sole 24 Ore”, sembra al momento confermare questa previsione.

Fig. 2
Andamento dei casi di Corona Virus in Italia dal 25 febbraio al 12 marzo 2020 (Fonte: Il Sole 24 Ore) – Totale (rosso); casi attuali (rosa); guariti (verde); deceduti (nero).

 

Non c’è dubbio, quindi, che l’esperienza italiana sia servita a tutto il mondo come early warning, e di questo dovrebbero esserci grati. È chiaro anche come i severi provvedimenti del governo siano assolutamente giustificati: se non si esce dall’andamento esponenziale le conseguenze potrebbero essere catastrofiche, anche nei territori in cui il contagio appare attualmente di modesta entità.

Lo illustriamo con un esempio tratto dalla già citata presentazione di Bartlett. Ipotizziamo di mettere un batterio in grado di riprodursi ogni minuto in una bottiglia alle 11:00 di mattina. Dopo un minuto, i batteri sono 2; dopo 2 minuti sono 4; dopo 3 minuti sono 8; e così via finché, a mezzogiorno, la bottiglia è piena. Non essendoci più spazio, la popolazione è destinata all’estinzione. Ma quando si accorgono i batteri che la loro risorsa vitale sta per esaurirsi? Se pensiamo che un minuto prima di mezzogiorno la bottiglia è piena solo a metà, è facile rendersi conto che l’imminenza della fine verrà percepita solo pochi secondi prima, quando ormai sarà troppo tardi per intervenire. Immaginiamo però che i batteri dispongano di un governo particolarmente illuminato, che a mezzogiorno meno un minuto annunci la scoperta di nuove ingenti risorse: altre 3 bottiglie della stessa dimensione disponibili per la crescita. Potranno quindi dormire sonni tranquilli? Assolutamente no: alle 12:00 si esaurisce la prima bottiglia, alle 12:01 la seconda, alle 12:02 la popolazione si raddoppia ancora portando alla saturazione le ultime due bottiglie. Insomma, se quando stiamo ancora bene (bottiglia originale con ancora metà dello spazio disponibile) le risorse si quadruplicano, l’estinzione viene rinviata solo di 2 minuti. Bartlett rendeva esplicita la metafora avvertendo che il genere umano si trova a «un minuto prima di mezzogiorno».

Questo non è il momento delle polemiche: comportiamoci correttamente e responsabilmente. Altrimenti potremmo rischiare di essere anche noi a «un minuto prima di mezzogiorno».