Come descrivere la complessità: leggi di potenza e frattali

Nello scorso numero de Il Punto abbiamo introdotto Benoit Mandelbrot, come colui il quale diede l’avvio alla cosiddetta “geometria frattale”. Per spiegare cosa è un frattale e come queste strane e affascinanti forme si manifestino ovunque intorno a noi, supponiamo di utilizzare una macchina fotografica con un potente zoom per fotografare un albero: la nostra prima inquadratura comprenderà tutto il soggetto e saremo, quindi, in grado di vedere come la chioma sia formata da tanti rami e foglie. Zoomando su un grosso ramo, vedremo come questo sia composto da rami più piccoli che, sebbene non identici al ramo più grande, hanno di fatto la sua stessa conformazione. Continuando a zoomare, possiamo arrivare ad inquadrare le singole foglie, ognuna delle quali ha un sistema di nervature che assumono una forma strutturalmente identica a quella dei vari rami dell’albero. Potremmo replicare l’esperimento osservando le nuvole, i fulmini, il nostro sistema cardiocircolatorio o i nostri polmoni, scoprendo che sono anch’essi dotati di una struttura che si ripete in maniera simile al variare della scala di osservazione, almeno per un’ampia varietà di scale.

Seppur così comuni, tali strutture sono matematicamente di difficile rappresentazione, vista l’impossibilità di utilizzare gli strumenti analitici tradizionali per la loro descrizione. Tipicamente, ogni punto di una curva è toccato da una tangente; per scale molto piccole la curva e la sua tangente si fondono e si perde ogni struttura originaria. Negli oggetti invarianti per scala, invece, ogni loro porzione ha la medesima complessità della forma nel suo insieme e non si arriva mai a poter descrivere il loro perimetro con una tangente.

Mandelbrot sintetizzò il problema relativo alla misura degli oggetti invarianti per scala nel celebre quesito: quanto sono lunghe le coste della Gran Bretagna? Anche le coste della Gran Bretagna, infatti, come tutte le coste in generale, sono caratterizzare da un’anfrattuosità tale da renderle auto-simili al variare della scala di osservazione. Utilizzando lo stesso procedimento che porta alla formazione della curva di Koch o curva a fiocco di neve, Mandelbrot immaginò che, per rappresentare la costa, si possano utilizzare delle rette spezzate che ne approssimano la forma seguendone le irregolarità. La lunghezza di ogni segmento di retta, moltiplicata per il numero di segmenti totali, fornisce un’approssimazione della lunghezza totale del litorale.

Per migliorare la misura, poi, si può pensare di ridurre sempre di più la dimensione del segmento, in modo che sia sempre più vicino alla curva reale della costa, ma poiché ogni segmento si può dividere infinite volte, anche la lunghezza totale calcolata con questo metodo tende ad aumentare indefinitamente (come nel noto paradosso di Achille e la tartaruga descritto dal filosofo Zenone).

Ovviamente lo scopo di Mandelbrot non era quello di scoraggiare i cartografi, bensì di far riflettere sul fatto che la natura tende a non utilizzare la geometria euclidea nel realizzare le sue forme, ma una geometria più complessa, cui lo studioso polacco diede il nome di “frattale” (dal latino “fractus”, interrotto, irregolare). L’idea di Mandelbrot è che gli oggetti complessi che ci circondano possono essere rappresentati con delle approssimazioni successive (utilizzando quindi un metodo iterativo), come quando si disegna una mappa approssimandola con una spezzata sempre più vicina alle linee reali dei confini. Ovviamente più siamo precisi (più iterazioni facciamo) più sarà precisa la rappresentazione.

Per dedurre una regola di carattere generale, partiamo dal caso di figure geometriche regolari. Se consideriamo un segmento e lo dividiamo prima in due parti uguali, poi in tre, poi in quattro e così in avanti, il numero di parti N che si formano, auto-simili al segmento intero, saranno:

N= sD

dove s è il numero di sotto-parti uguali in cui abbiamo diviso il segmento e D è un numero che, in questo caso, coincide con la dimensione euclidea (nel caso del segmento sarà D=1).

Se consideriamo, poi, un quadrato e ne dividiamo ogni lato prima in due parti uguali, poi in tre, poi in quattro, etc., otterremo analogamente un numero di quadrati più piccoli, del tutto simili al quadrato iniziale, descritti dalla medesima espressione N= sD, dove questa volta si avrà D=2, anche in questo caso pari alla dimensione euclidea della superficie. Possiamo ripetere l’esercizio anche per un cubo, ottenendo lo stesso risultato con D=3.

metodo di calcolo della dimensione frattale

Ovviamente, possiamo utilizzare lo stesso metodo anche per figure geometriche meno simmetriche di un quadrato o un cubo. In generale, il numero s di sotto-parti uguali in cui dividiamo un segmento è dato dal rapporto:

s =

dove L è la lunghezza totale e  è la lunghezza della sotto-parte che si genera.

Continuando a suddividere i segmenti in frazioni sempre più piccole di lunghezza , si ottengono un numero di parti uguali pari a:

N( = c ( = c -D       

con c costante dipendente dall’unità di misura utilizzata.

Questa è una legge di potenza e l’esponente D è il coefficiente angolare della retta con pendenza negativa rappresentata su un grafico doppiamente logaritmico. Per suddivisioni sempre più piccole, otteniamo, a meno di una costante:

D =  

Mandelbrot chiamò l’esponente D “dimensione frattale”, intendendo con esso rappresentare il grado di irregolarità e spigolosità della forma geometrica considerata, ovvero il modo con cui essa riempie lo spazio in cui è contenuta.  Per figure complesse e frastagliate, la dimensione frattale  assume valore frazionario,  in genere diverso dalla dimensione euclidea dello spazio in cui la figura si trova. Infatti, un cubo, nello spazio euclideo tridimensionale, essendo una figura estremamente regolare, occupa tutto lo spazio a sua disposizione, non ha né buchi né avvallamenti. La sua dimensione frattale è appunto pari a 3, come lo spazio euclideo nel quale è posto. Un oggetto come una spugna, immaginata dentro una scatola che rappresenti lo spazio a 3 dimensioni in cui si trova, non ne riempie tutto il volume, ma possiede molte zone “di vuoto”. Dunque, si può immaginare che la sua dimensione frattale, comunque superiore a quella di un piano, non sia 3 come quella del cubo, bensì un numero frazionario compreso tra 2 e 3.

Un frattale, comunque, può avere anche dimensione non frazionaria, come nel caso della curva che descrive il moto browniano di una particella su una superficie. Quest’ultimo, infatti, è talmente irregolare che la curva che lo rappresenta finisce, nel tempo, per occupare tutto lo spazio a disposizione; la dimensione frattale sarà quindi pari a 2, uguale alla dimensione della superficie su cui si muove la particella (come nel caso della curva di Peano, una linea che, con le sue circonvoluzioni, ricopre un intero quadrato). Il tipico esempio di frattale è il triangolo di Sierpinski, che si ottiene mediante un processo che può essere ripetuto, in maniera iterativa, potenzialmente all’infinito. Unendo i punti medi dei lati di un triangolo equilatero, si forma un altro triangolo equilatero iscritto in quello più grande. Se si sottrae l’area del triangolo iscritto da quella del triangolo maggiore, si ottengono tre triangoli equilateri più piccoli, del tutto simili al triangolo di partenza. Ripetendo la medesima procedura per ognuno dei tre triangoli formatisi, si ottengono nove triangoli più piccoli, ancora simili al primo triangolo. Continuando a suddividere la figura nello stesso modo, si ottiene l’oggetto rappresentato in figura.

Poiché, per ogni iterazione, si divide per due il lato di ogni triangolo, ottenendo tre parti identiche a quella che si è divisa, la dimensione frattale del triangolo di Sierpinski è data da:

D =   =   

I frattali hanno, quindi, dimensione esprimibile attraverso una legge di potenza e rappresentano un perfetto esempio di invarianza di scala, almeno per quanto concerne la dimensione metrica.

Le leggi di scala, comunque, sono utilizzate anche per descrivere proprietà diverse e più generali di fenomeni. Celebre, ad esempio, è la legge di Gutenberg e Richter sulla distribuzione dei terremoti, la quale afferma che, al crescere di intensità, il numero di terremoti diminuisce secondo una legge di potenza (pochi terremoti avranno un’elevata magnitudo).

Questo ci insegna che eventi estremi, che una classica distribuzione di Gauss praticamente ignora, non solo possono accadere, ma che le loro conseguenze possono avere effetti assolutamente rilevanti per la nostra vita. Secondo uno studio di Andriani e McKelvey (2005), in California, ogni anno, ci sono circa 16.000 terremoti di intensità poco significativa; ogni dieci anni circa ce ne è uno di intensità intorno a 6-7 gradi della scala Richter; ogni 150-200 anni se ne verifica uno di intensità ancora superiore (un “big one”). Se si rappresenta su un grafico il numero di terremoti avvenuti tra il 1995 e il 2006, si scopre che tutti, eccetto due, hanno avuto intensità compresa tra 1 e 4 gradi. Secondo Gauss, quindi, potremmo considerare altamente improbabili i terremoti di intensità maggiore di 4 gradi; eppure ne sono realmente avvenuti due, di magnitudo tra 6 e 7, che hanno causato milioni di dollari di danni e più di 100 vittime.

La legge di potenza che rappresenta la distribuzione dei terremoti è concettualmente diversa da quelle che abbiamo visto descrivere le strutture frattali, in quanto, in questo caso, l’esponente non si riferisce a proprietà metriche del fenomeno, bensì alla distribuzione degli eventi. Tuttavia, la proprietà dell’invarianza per trasformazioni di scala che caratterizza ogni distribuzione di Pareto ha, nel caso dei terremoti, implicazioni molto importanti: dallo studio dei più numerosi terremoti di lieve intensità, infatti, è possibile trarre conclusioni pressoché valide anche per i terremoti più disastrosi, pur se questi si manifestano più raramente.

Di qui l’importanza, almeno in situazioni ad alto impatto sull’uomo, di badare anche agli eventi considerati trascurabili secondo i metodi statistici più diffusi ( i cosiddetti “cigni neri” secondo un celebre libro di Nassim Nicholas Taleb). E’ bene, quindi, che le norme edilizie (e non solo quelle californiane) tengano conto di distribuzioni di terremoti basate su leggi di Pareto piuttosto che su distribuzioni gaussiane.

In conclusione, abbiamo compreso come la distribuzione gaussiana non sia sempre utilizzabile per descrivere fenomeni che accadono sia in ambito naturale, sia in ambito sociale ed economico. Abbiamo anche evidenziato che, in molti casi, distribuzioni a legge di potenza, con la particolare caratteristica dell’invarianza per trasformazioni di scala, sono molto più adatte per rappresentare casi reali, sebbene non si possa sottacere che esse sono comunque caratterizzate da talune criticità. Quando, infatti, avvengono eventi “estremi”, essi alterano il valore medio della distribuzione; per questo il valore medio delle distribuzioni di Pareto è instabile. Inoltre, più sono grandi i valori degli eventi estremi, più questi sono impredicibili, ovvero la varianza della distribuzione è potenzialmente infinita e l’intervallo di confidenza ampio, rendendo, di fatto, inutilizzabile il modello da un punto di vista predittivo. Sappiamo, dunque, che gli eventi più disastrosi possono accadere, ma non sappiamo prevederli in alcun modo. Ciò è stato evidenziato dallo stesso Mandelbrot quando si è occupato delle proprietà frattali delle curve che descrivono i mercati finanziari, arrivando a ipotizzare che il crollo della borsa avviene molto più frequentemente di quanto ipotizzato da una distribuzione normale. L’utilizzo di un nuovo approccio metodologico, che tenga conto degli strumenti della matematica frattale, ci potrà probabilmente aiutare almeno a comprendere come avvengono certi fenomeni, in attesa di capire come si possa intervenire per prevenirli.