Econometristi ed econofisici (i fisici che si occupano di economia) dibattono da tempo su quanto e fin dove sia lecito utilizzare la distribuzione di probabilit\u00e0 di Gauss (la cosiddetta \u201cnormale\u201d) per descrivere fenomeni fisici, biologici, ma anche sociali ed economici. <\/p>\n\n\n\n
Gli econometristi, infatti, tendono a usare distribuzioni normali o lognormali (distribuzioni di probabilit\u00e0 di una variabile aleatoria il cui logaritmo segue una distribuzione normale) anche in situazioni in cui tali distribuzioni non modellano bene i fenomeni descritti. La distribuzione dei rendimenti finanziari, ad esempio, \u00e8 tipicamente leptocurtica, ossia pi\u00f9 \u201cappuntita\u201d di una distribuzione normale. <\/p>\n\n\n\n
La ragione principale di questo \u201cabuso\u201d delle distribuzioni normali risiede nel fatto che esse hanno caratteristiche altamente \u201causpicabili\u201d in un modello statistico, poich\u00e9 le code simmetriche che vanno a morire esponenzialmente significano intervalli di confidenza chiaramente definiti (varianza limitata) e un valore medio stabile. In effetti, fenomeni lineari, con variabili indipendenti e in equilibrio, sono ben descritti da tali distribuzioni. Ma siamo certi che la realt\u00e0 che ci circonda sia ben descritta da eventi lineari o da situazioni di equilibrio? <\/p>\n\n\n\n
Ilya Prigogine, chimico e fisico russo, Nobel per la chimica nel 1977, fu tra i primi a studiare i sistemi dinamici instabili o lontani dall\u2019equilibrio, divenendo uno dei precursori della teoria della complessit\u00e0. Lo stato di equilibrio di un pendolo fermo si dice stabile perch\u00e9 ogni perturbazione del suo stato iniziale (ad esempio una spinta per metterlo in moto) si concluder\u00e0 con un ritorno alla posizione assunta inizialmente (quella a energia potenziale minima); l\u2019equilibrio di una matita tenuta in piedi sulla sua punta, invece, si dice instabile, perch\u00e9 ogni minimo tocco la fa cadere da un lato o dall\u2019altro (la posizione iniziale \u00e8 quella di massima energia potenziale). I sistemi dinamici stabili, quindi, sono quelli in cui piccole perturbazioni producono piccoli effetti (in questo sono intrinsecamente fenomeni lineari); i sistemi instabili sono, viceversa, quelli in cui piccole perturbazioni producono effetti dirompenti (non linearit\u00e0 della risposta). Sistemi caotici sono considerati, quindi, quelli altamente sensibili alle condizioni iniziali. \u00c8 quello che classicamente viene definito \u201ceffetto farfalla\u201d dai meteorologi: il battito d\u2019ali di una farfalla in Amazzonia pu\u00f2 influire sul tempo che far\u00e0 negli Stati Uniti. Da notare che in genere si parla di \u201ccaos deterministico\u201d, in quanto i sistemi caotici continuano a essere descritti da leggi newtoniane deterministiche (date le condizioni iniziali si pu\u00f2 ricostruire la traiettoria a ogni istante); tuttavia il comportamento di tali sistemi nel tempo appare stocastico e altamente influenzato dalla variabilit\u00e0 delle condizioni iniziali. <\/p>\n\n\n\n
Molti fenomeni fisici, biologici, ma anche sociali ed economici studiati dai cosiddetti \u201cautori della complessit\u00e0\u201d sono tutt\u2019altro che lineari o descritti da condizioni di equilibrio. Nell\u2019ambito delle teorie organizzative, ad esempio, il concetto di linearit\u00e0 ha spesso dimostrato la propria fallacia nella descrizione dei processi reali. I flussi delle decisioni aziendali e l\u2019andamento dell\u2019ammontare delle vendite, ad esempio, sono tipici processi non lineari, che in letteratura sono stati meglio descritti da distribuzioni cosiddette di \u201cfrequenza di Pareto\u201d o a legge di potenza. Tali distribuzioni, anche dette \u201crank distribution<\/em>\u201d, sono caratterizzate da lunghe code, cio\u00e8 la funzione di probabilit\u00e0 tende a zero lentamente all\u2019aumentare del valore della variabile. Esse derivano il loro nome dall\u2019ingegnere ed economista Vilfredo Pareto, che per primo le utilizz\u00f2 per descrivere quanto fosse esiguo, rispetto al totale della popolazione, il numero di soggetti che percepivano redditi molto al di sopra della media, indipendentemente dal paese o dall\u2019epoca considerata. Infatti, si suole affermare che circa l\u201980% del reddito \u00e8 in mano a circa il 20% della popolazione, secondo la celebre regola dell\u201980-20 <\/em>di Pareto (l\u201980% delle cause di un fenomeno \u00e8 dato dal 20% dei fattori che lo contraddistinguono). In realt\u00e0 il principio dell\u201980-20 <\/em>\u00e8 del tutto empirico, visto che, nel descrivere fenomeni reali, dette proporzioni sono solo indicative e stanno a evidenziare semplicemente il fatto che solo pochi soggetti\/fattori contribuiscono alla stragrande maggioranza dei risultati di un fenomeno: poche guerre fanno tantissime vittime, pochi portali web hanno moltissimi contatti, pochi libri vendono un gran numero di copie (la maggior parte, ahim\u00e8, sono destinati a biblioteche specializzate o dimenticati nello scaffale di una libreria). <\/p>\n\n\n\n Nel tempo, le distribuzioni a legge di potenza sono state anche dette \u201cdi Zipf\u201d, dal linguista americano George Kingsley Zipf che, negli anni \u201950, le utilizz\u00f2 nel suo lavoro Human behaviour and the principle of least-effort <\/em>per rappresentare la frequenza d’uso delle parole nei testi: in ogni lingua, l\u2019insieme delle parole utilizzate pi\u00f9 di frequente \u00e8 molto piccolo e comprende, in particolare, vocaboli pi\u00f9 brevi e dotati di molteplicit\u00e0 di significato. <\/p>\n\n\n\n In letteratura sono stati descritti molti fenomeni attraverso delle rank distribution<\/em>: la distribuzione dell\u2019intensit\u00e0 dei terremoti, il numero di citazioni di lavori scientifici, le dimensioni delle citt\u00e0 del mondo, i tassi di crescita delle imprese (in termini di ammontare delle vendite), la lunghezza dei fiumi, il numero di accessi ai siti web, la ricchezza tra gli individui, etc. In altre parole, leggi di potenza sono utilizzate per descrivere fenomeni di natura fisica, ma anche sociale ed economica. <\/p>\n\n\n\n La caratteristica principale di questo tipo di distribuzioni \u00e8 l’assenza di una scala caratteristica dei fenomeni, i quali risultano invarianti per cambiamenti di scala. Cos\u00ec, ad esempio, dire che la distribuzione del reddito varia secondo una legge di potenza significa dire che se ogni quattro individui con reddito annuo pari a diecimila euro ne esiste uno con reddito pari a ventimila, allora per ogni quattro con reddito pari a un milione di euro, ci sar\u00e0 una persona che guadagna due milioni di euro. <\/p>\n\n\n\n La forma pi\u00f9 comune di una funzione a legge di potenza \u00e8: <\/p>\n\n\n\n f(x) = x -\u03b1 <\/em><\/p>\n\n\n\n Se si moltiplica la variabile x <\/em>per una costante\nc<\/em>, la funzione stessa viene moltiplicata per\nuna costante:\n<\/p>\n\n\n\n f(cx) = (cx)<\/em>–<\/em>\u03b1 <\/em>= c<\/em>–<\/em>\u03b1 <\/em>f(x) <\/em>\u03b1 <\/em>f(x)\n<\/em><\/p>\n\n\n\n a dimostrazione dell\u2019invarianza di scala delle leggi di potenza.<\/p>\n\n\n\n In genere, si suole rappresentare le leggi di potenza su un grafico doppiamente logaritmico, nel quale la funzione assume la forma di una retta con pendenza negativa pari all\u2019esponente \u03b1. <\/p>\n\n\n\n Le distribuzioni a legge di potenza, dunque, descrivendo fenomeni non lineari, non godono delle propriet\u00e0 che rendono le distribuzioni gaussiane estremamente comode da un punto di vista statistico. A differenza delle distribuzioni normali, infatti, il loro valore medio pu\u00f2 non essere stabile e la loro varianza pu\u00f2 divenire infinita. Ci\u00f2 \u00e8 stato spiegato in letteratura con il fatto che le distribuzioni a legge di potenza descrivono fenomeni complessi, dove molti elementi o fattori sono in connessione o interdipendenti, laddove le distribuzioni gaussiane sono generate, invece, da variabili tutte indipendenti tra loro. Inoltre, la propriet\u00e0 di invarianza di scala richiede agli studiosi un approccio metodologico del tutto nuovo rispetto a quello utilizzato abitualmente nello studio di fenomeni complessi. Tradizionalmente infatti, i ricercatori, specie in campo fisico, cercano di scomporre ogni sistema nelle sue componenti principali, per studiarne le caratteristiche e per poi ricostruire le propriet\u00e0 della struttura nel suo complesso a partire dalla conoscenza di quelle dei suoi elementi di base (ad esempio, per studiare le propriet\u00e0 della materia si studiano gli atomi e le molecole che la compongono). Tutto ci\u00f2, tuttavia, implica che ci sia una corrispondenza lineare tra il comportamento del tutto e quello delle sue parti, cio\u00e8 che sia possibile ridurre la complessit\u00e0 del fenomeno riducendo la scala di osservazione. Questo, nella realt\u00e0, non \u00e8 sempre possibile: fenomeni non lineari, descritti da leggi di potenza, infatti, sono il tipico esempio di come, al variare della scala di osservazione, la complessit\u00e0 del sistema rimanga invariata, a causa della caratteristica di invarianza di scala, di cui abbiamo parlato precedentemente. <\/p>\n\n\n\n In natura, del resto, esistono molte manifestazioni di questa propriet\u00e0. Nel prossimo numero de \u201cIl Punto\u201d ne parleremo in maniera pi\u00f9 estensiva e vedremo come le caratteristiche delle leggi potenza diventino pi\u00f9 intuitive nell\u2019ambito della geometria frattale, la cui nascita si deve a Benoit Mandelbrot, matematico polacco straordinariamente eclettico e visionario (nel senso pi\u00f9 positivo del termine). <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" leggi di potenza e frattali Econometristi ed econofisici (i fisici che si occupano di economia) dibattono da tempo su quanto e fin dove sia lecito utilizzare la distribuzione di probabilit\u00e0 di Gauss (la cosiddetta \u201cnormale\u201d) per descrivere fenomeni fisici, biologici, ma anche sociali ed economici. 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