{"id":704,"date":"2012-09-12T16:03:22","date_gmt":"2012-09-12T16:03:22","guid":{"rendered":"http:\/\/ilpuntomagazine.net\/?p=704"},"modified":"2012-09-12T16:03:22","modified_gmt":"2012-09-12T16:03:22","slug":"come-descrivere-la-complessita-leggi-di-potenza-e-frattali","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/ilpuntomagazine.net\/index.php\/2012\/09\/12\/come-descrivere-la-complessita-leggi-di-potenza-e-frattali\/","title":{"rendered":"Come descrivere la complessit\u00e0: leggi di potenza e frattali"},"content":{"rendered":"\n<p>Nello scorso numero de Il Punto abbiamo introdotto Benoit Mandelbrot, come colui il quale diede l\u2019avvio alla cosiddetta \u201cgeometria frattale\u201d. Per spiegare cosa \u00e8 un frattale e come queste strane e affascinanti forme si manifestino ovunque intorno a noi, supponiamo di utilizzare una macchina fotografica con un potente zoom per fotografare un albero: la nostra prima inquadratura comprender\u00e0 tutto il soggetto e saremo, quindi, in grado di vedere come la chioma sia formata da tanti rami e foglie. Zoomando su un grosso ramo, vedremo come questo sia composto da rami pi\u00f9 piccoli che, sebbene non identici al ramo pi\u00f9 grande, hanno di fatto la sua stessa conformazione. Continuando a zoomare, possiamo arrivare ad inquadrare le singole foglie, ognuna delle quali ha un sistema di nervature che assumono una forma strutturalmente identica a quella dei vari rami dell\u2019albero. Potremmo replicare l\u2019esperimento osservando le nuvole, i fulmini, il nostro sistema cardiocircolatorio o i nostri polmoni, scoprendo che sono anch\u2019essi dotati di una struttura che si ripete in maniera simile al variare della scala di osservazione, almeno per un\u2019ampia variet\u00e0 di scale.<\/p>\n\n\n\n<p>Seppur\ncos\u00ec comuni, tali strutture sono matematicamente di difficile rappresentazione,\nvista l\u2019impossibilit\u00e0 di utilizzare gli strumenti analitici tradizionali per la\nloro descrizione. Tipicamente, ogni punto di una curva \u00e8 toccato da una\ntangente; per scale molto piccole la curva e la sua tangente si fondono e si\nperde ogni struttura originaria. Negli oggetti invarianti per scala, invece,\nogni loro porzione ha la medesima complessit\u00e0 della forma nel suo insieme e non\nsi arriva mai a poter descrivere il loro perimetro con una tangente. <\/p>\n\n\n\n<p>Mandelbrot sintetizz\u00f2 il problema relativo alla misura degli oggetti invarianti per scala nel celebre quesito: quanto sono lunghe le coste della Gran Bretagna? Anche le coste della Gran Bretagna, infatti, come tutte le coste in generale, sono caratterizzare da un\u2019anfrattuosit\u00e0 tale da renderle auto-simili al variare della scala di osservazione. Utilizzando lo stesso procedimento che porta alla formazione della curva di Koch o curva a fiocco di neve, Mandelbrot immagin\u00f2 che, per rappresentare la costa, si possano utilizzare delle rette spezzate che ne approssimano la forma seguendone le irregolarit\u00e0. La lunghezza di ogni segmento di retta, moltiplicata per il numero di segmenti totali, fornisce un\u2019approssimazione della lunghezza totale del litorale.<\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-gallery columns-1 is-cropped wp-block-gallery-1 is-layout-flex wp-block-gallery-is-layout-flex\"><li class=\"blocks-gallery-item\"><figure><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/ilpuntomagazine.net\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/fiocco.png\" alt=\"\" data-id=\"705\" data-link=\"http:\/\/ilpuntomagazine.net\/?attachment_id=705\" class=\"wp-image-705\"\/><figcaption> <br>  <br> <br> <br> <br>La curva a fiocco di neve di Koch<\/figcaption><\/figure><\/li><\/ul>\n\n\n\n<p>Per\nmigliorare la misura, poi, si pu\u00f2 pensare di ridurre sempre di pi\u00f9 la dimensione\ndel segmento, in modo che sia sempre pi\u00f9 vicino alla curva reale della costa,\nma poich\u00e9 ogni segmento si pu\u00f2 dividere infinite volte, anche la lunghezza\ntotale calcolata con questo metodo tende ad aumentare indefinitamente (come nel\nnoto paradosso di Achille e la tartaruga descritto dal filosofo Zenone). <\/p>\n\n\n\n<p>Ovviamente\nlo scopo di Mandelbrot non era quello di scoraggiare i cartografi, bens\u00ec di far\nriflettere sul fatto che la natura tende a non utilizzare la geometria euclidea\nnel realizzare le sue forme, ma una geometria pi\u00f9 complessa, cui lo studioso\npolacco diede il nome di \u201cfrattale\u201d (dal latino \u201c<em>fractus<\/em>\u201d, interrotto, irregolare). L\u2019idea di Mandelbrot \u00e8 che gli\noggetti complessi che ci circondano possono essere rappresentati con delle\napprossimazioni successive (utilizzando quindi un metodo iterativo), come\nquando si disegna una mappa approssimandola con una spezzata sempre pi\u00f9 vicina\nalle linee reali dei confini. Ovviamente pi\u00f9 siamo precisi (pi\u00f9 iterazioni\nfacciamo) pi\u00f9 sar\u00e0 precisa la rappresentazione. <\/p>\n\n\n\n<p>Per\ndedurre una regola di carattere generale, partiamo dal caso di figure\ngeometriche regolari. Se consideriamo un segmento e lo dividiamo prima in due parti\nuguali, poi in tre, poi in quattro e cos\u00ec in avanti, il numero di parti N che si\nformano, auto-simili al segmento intero, saranno:<\/p>\n\n\n\n<p>N= s<sup>D<\/sup><\/p>\n\n\n\n<p>dove\ns \u00e8 il numero di sotto-parti uguali in cui abbiamo diviso il segmento e D \u00e8 un\nnumero che, in questo caso, coincide con la dimensione euclidea (nel caso del\nsegmento sar\u00e0 D=1).<\/p>\n\n\n\n<p>Se consideriamo, poi, un quadrato e ne dividiamo ogni lato prima in due parti uguali, poi in tre, poi in quattro, etc., otterremo analogamente un numero di quadrati pi\u00f9 piccoli, del tutto simili al quadrato iniziale, descritti dalla medesima espressione N= s<sup>D<\/sup>, dove questa volta si avr\u00e0 D=2, anche in questo caso pari alla dimensione euclidea della superficie. Possiamo ripetere l\u2019esercizio anche per un cubo, ottenendo lo stesso risultato con D=3. <\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/ilpuntomagazine.net\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/Schermata-2019-06-22-alle-18.13.31-1024x657-1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-706\"\/><figcaption>metodo di calcolo della dimensione frattale<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>Ovviamente,\npossiamo utilizzare lo stesso metodo anche per figure geometriche meno\nsimmetriche di un quadrato o un cubo. In generale, il numero s di sotto-parti\nuguali in cui dividiamo un segmento \u00e8 dato dal rapporto:<\/p>\n\n\n\n<p>s = \n \n<\/p>\n\n\n\n<p>dove L \u00e8 la lunghezza totale e \n \n&nbsp;\u00e8 la lunghezza della\nsotto-parte che si genera.<\/p>\n\n\n\n<p>Continuando a suddividere i segmenti\nin frazioni sempre pi\u00f9 piccole di lunghezza \n \n, si ottengono un numero di parti uguali pari a:<\/p>\n\n\n\n<p>N(\n \n= c ( \n \n<sup>D&nbsp;\n<\/sup>= c\n \n<sup>-D<\/sup>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/p>\n\n\n\n<p>con c costante dipendente dall\u2019unit\u00e0\ndi misura utilizzata.<\/p>\n\n\n\n<p>Questa\n\u00e8 una legge di potenza e l\u2019esponente D \u00e8 il coefficiente angolare della retta con\npendenza negativa rappresentata su un grafico doppiamente logaritmico. Per\nsuddivisioni sempre pi\u00f9 piccole, otteniamo, a meno di una costante: <\/p>\n\n\n\n<p>D =\n \n&nbsp;<\/p>\n\n\n\n<p>Mandelbrot\nchiam\u00f2 l\u2019esponente D \u201cdimensione frattale\u201d, intendendo con esso rappresentare\nil grado di irregolarit\u00e0 e spigolosit\u00e0 della forma geometrica considerata,\novvero il modo con cui essa riempie lo spazio in cui \u00e8 contenuta. &nbsp;Per figure complesse e frastagliate, la\ndimensione frattale &nbsp;assume valore\nfrazionario, &nbsp;in genere diverso dalla\ndimensione euclidea dello spazio in cui la figura si trova. Infatti, un cubo,\nnello spazio euclideo tridimensionale, essendo una figura estremamente\nregolare, occupa tutto lo spazio a sua disposizione, non ha n\u00e9 buchi n\u00e9\navvallamenti. La sua dimensione frattale \u00e8 appunto pari a 3, come lo spazio\neuclideo nel quale \u00e8 posto. Un oggetto come una spugna, immaginata dentro una\nscatola che rappresenti lo spazio a 3 dimensioni in cui si trova, non ne\nriempie tutto il volume, ma possiede molte zone \u201cdi vuoto\u201d. Dunque, si pu\u00f2\nimmaginare che la sua dimensione frattale, comunque superiore a quella di un\npiano, non sia 3 come quella del cubo, bens\u00ec un numero frazionario compreso tra\n2 e 3. <\/p>\n\n\n\n<p>Un frattale, comunque, pu\u00f2 avere anche dimensione non frazionaria, come nel caso della curva che descrive il moto browniano di una particella su una superficie. Quest\u2019ultimo, infatti, \u00e8 talmente irregolare che la curva che lo rappresenta finisce, nel tempo, per occupare tutto lo spazio a disposizione; la dimensione frattale sar\u00e0 quindi pari a 2, uguale alla dimensione della superficie su cui si muove la particella (come nel caso della curva di Peano, una linea che, con le sue circonvoluzioni, ricopre un intero quadrato).  Il tipico esempio di frattale \u00e8 il triangolo di Sierpinski, che si ottiene mediante un processo che pu\u00f2 essere ripetuto, in maniera iterativa, potenzialmente all\u2019infinito. Unendo i punti medi dei lati di un triangolo equilatero, si forma un altro triangolo equilatero iscritto in quello pi\u00f9 grande. Se si sottrae l\u2019area del triangolo iscritto da quella del triangolo maggiore, si ottengono tre triangoli equilateri pi\u00f9 piccoli, del tutto simili al triangolo di partenza. Ripetendo la medesima procedura per ognuno dei tre triangoli formatisi, si ottengono nove triangoli pi\u00f9 piccoli, ancora simili al primo triangolo. Continuando a suddividere la figura nello stesso modo, si ottiene l\u2019oggetto rappresentato in figura.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/ilpuntomagazine.net\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/Schermata-2019-06-22-alle-18.13.39-1024x186-1.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-707\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Poich\u00e9,\nper ogni iterazione, si divide per due il lato di ogni triangolo, ottenendo tre\nparti identiche a quella che si \u00e8 divisa, la dimensione frattale del triangolo\ndi Sierpinski \u00e8 data da:<\/p>\n\n\n\n<p>D =\n \n&nbsp;&nbsp;=\n \n&nbsp;&nbsp;\n \n<\/p>\n\n\n\n<p>I\nfrattali hanno, quindi, dimensione esprimibile attraverso una legge di potenza\ne rappresentano un perfetto esempio di invarianza di scala, almeno per quanto\nconcerne la dimensione metrica. <\/p>\n\n\n\n<p>Le\nleggi di scala, comunque, sono utilizzate anche per descrivere propriet\u00e0\ndiverse e pi\u00f9 generali di fenomeni. Celebre, ad esempio, \u00e8 la legge di Gutenberg\ne Richter sulla distribuzione dei terremoti, la quale afferma che, al crescere\ndi intensit\u00e0, il numero di terremoti diminuisce secondo una legge di potenza\n(pochi terremoti avranno un\u2019elevata magnitudo).<\/p>\n\n\n\n<p>Questo\nci insegna che eventi estremi, che una classica distribuzione di Gauss\npraticamente ignora, non solo possono accadere, ma che le loro conseguenze\npossono avere effetti assolutamente rilevanti per la nostra vita. Secondo uno\nstudio di Andriani e McKelvey\n(2005), in California, ogni anno, ci sono circa 16.000 terremoti di intensit\u00e0\npoco significativa; ogni dieci anni circa ce ne \u00e8 uno di intensit\u00e0 intorno a\n6-7 gradi della scala Richter; ogni 150-200 anni se ne verifica uno di intensit\u00e0\nancora superiore (un \u201cbig one\u201d). Se si rappresenta su un grafico il numero di\nterremoti avvenuti tra il 1995 e il 2006, si scopre che tutti, eccetto due,\nhanno avuto intensit\u00e0 compresa tra 1 e 4 gradi. Secondo Gauss, quindi, potremmo\nconsiderare altamente improbabili i terremoti di intensit\u00e0 maggiore di 4 gradi;\neppure ne sono realmente avvenuti due, di magnitudo tra 6 e 7, che hanno\ncausato milioni di dollari di danni e pi\u00f9 di 100 vittime. <\/p>\n\n\n\n<p>La\nlegge di potenza che rappresenta la distribuzione dei terremoti \u00e8\nconcettualmente diversa da quelle che abbiamo visto descrivere le strutture\nfrattali, in quanto, in questo caso, l&#8217;esponente non si riferisce a propriet\u00e0\nmetriche del fenomeno, bens\u00ec alla distribuzione degli eventi. Tuttavia, la\npropriet\u00e0 dell\u2019invarianza per trasformazioni di scala che caratterizza ogni\ndistribuzione di Pareto ha, nel caso dei terremoti, implicazioni molto\nimportanti: dallo studio dei pi\u00f9 numerosi terremoti di lieve intensit\u00e0, infatti,\n\u00e8 possibile trarre conclusioni pressoch\u00e9 valide anche per i terremoti pi\u00f9\ndisastrosi, pur se questi si manifestano pi\u00f9 raramente. <\/p>\n\n\n\n<p>Di\nqui l\u2019importanza, almeno in situazioni ad alto impatto sull\u2019uomo, di badare\nanche agli eventi considerati trascurabili secondo i metodi statistici pi\u00f9\ndiffusi ( i cosiddetti \u201ccigni neri\u201d secondo un celebre libro di Nassim Nicholas\nTaleb). E\u2019 bene, quindi, che le norme edilizie (e non solo quelle californiane)\ntengano conto di distribuzioni di terremoti basate su leggi di Pareto piuttosto\nche su distribuzioni gaussiane. <\/p>\n\n\n\n<p>In\nconclusione, abbiamo compreso come la distribuzione gaussiana non sia sempre\nutilizzabile per descrivere fenomeni che accadono sia in ambito naturale, sia\nin ambito sociale ed economico. Abbiamo anche evidenziato che, in molti casi,\ndistribuzioni a legge di potenza, con la particolare caratteristica\ndell\u2019invarianza per trasformazioni di scala, sono molto pi\u00f9 adatte per\nrappresentare casi reali, sebbene non si possa sottacere che esse sono comunque\ncaratterizzate da talune criticit\u00e0. Quando, infatti, avvengono eventi\n\u201cestremi\u201d, essi alterano il valore medio della distribuzione; per questo il valore\nmedio delle distribuzioni di Pareto \u00e8 instabile. Inoltre, pi\u00f9 sono grandi i\nvalori degli eventi estremi, pi\u00f9 questi sono impredicibili, ovvero la varianza\ndella distribuzione \u00e8 potenzialmente infinita e l\u2019intervallo di confidenza\nampio, rendendo, di fatto, inutilizzabile il modello da un punto di vista predittivo.\nSappiamo, dunque, che gli eventi pi\u00f9 disastrosi possono accadere, ma non\nsappiamo prevederli in alcun modo. Ci\u00f2 \u00e8 stato evidenziato dallo stesso\nMandelbrot quando si \u00e8 occupato delle propriet\u00e0 frattali delle curve che\ndescrivono i mercati finanziari, arrivando a ipotizzare che il crollo della\nborsa avviene molto pi\u00f9 frequentemente di quanto ipotizzato da una\ndistribuzione normale. L\u2019utilizzo di un nuovo approccio metodologico, che tenga\nconto degli strumenti della matematica frattale, ci potr\u00e0 probabilmente aiutare\nalmeno a comprendere come avvengono certi fenomeni, in attesa di capire come si\npossa intervenire per prevenirli.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Nello scorso numero de Il Punto abbiamo introdotto Benoit Mandelbrot, come colui il quale diede l\u2019avvio alla cosiddetta \u201cgeometria frattale\u201d. 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